数字和与数字根¶

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数字和介绍¶

简单来说，数字和即一个整数数字每一位数值相加求和所得的值，数字和可以为任意正整数，使用代码获取一个数值的数字和模版如下：

C++
while (num)
{
    sum += num % 10;// 记录各位之和
    num /= 10; // 获取下一个高位数值
}

数字和简单应用¶

哈沙德数¶

题目链接：3099. 哈沙德数 - 力扣（LeetCode）

Quote

如果一个整数能够被其各个数位上的数字之和整除，则称之为 哈沙德数（Harshad number）。给你一个整数 x 。如果x 是 哈沙德数 ，则返回 x 各个数位上的数字之和，否则，返回 -1 。

思路解析：

题目要求获取哈沙德数，根据题目描述，所谓哈沙德数即为当前数值可以被其数字和整除，所以直接使用数字和模版先获取数字和，再判断是否可以整除从而判断x是否为哈沙德数

参考代码：

C++
/*
 * @lc app=leetcode.cn id=3099 lang=cpp
 *
 * [3099] 哈沙德数
 */

// @lc code=start
class Solution
{
public:
    int sumOfTheDigitsOfHarshadNumber(int x)
    {
        // 求各位之和
        int sum = 0;
        int tmp = x;
        while (tmp)
        {
            sum += tmp % 10;
            tmp /= 10;
        }

        if (x % sum == 0)
        {
            return sum;
        }
        return -1;
    }
};
// @lc code=end

最小元素各数位之和¶

题目链接：1085. 最小元素各数位之和 - 力扣（LeetCode）

Quote

给你一个正整数的数组 A。然后计算 S，使其等于数组 A 当中最小的那个元素各个数位上数字之和。最后，假如 S 所得计算结果是奇数，返回 0 ；否则请返回 1。

思路解析：

本题只需要先获取数组中最小的数值，再求该数值的数字和即可

参考代码：

C++
/*
 * @lc app=leetcode.cn id=1085 lang=c
 *
 * [965] 最小元素各数位之和
 */

// @lc code=start
class Solution {
public:
    int sumOfDigits(vector<int>& nums) {
        int ret = *min_element(nums.begin(), nums.end());
        int ans = 0;
        while (ret){
            ans += ret % 10;
            ret /= 10;
        }
        if(ans % 2){
            return 0;
        }
        return 1;
    }
};
// @lc code=end

数字根介绍¶

相比较于数字和来说，数字根是数值的每一位相加求和直到和结果为1位数，例如6278的数字根计算方式为6+2+7+8=23->2+3=5，所以6278的数字根为5

求一个数值的数字根有两种方法

循环求和

C++
while (tmp > 9)
{
    // 获取最低位和
    while (tmp)
    {
        sum += tmp % 10;
        tmp /= 10;
    }
    tmp = sum;
    sum = 0;
}
sum = tmp;

数学计算（去9法）

观察到因为数字根最大不会超过9，而对于十进制数值来说，例如6278，可以转化为6000+200+70+8，即6*1000+2*100+7*10+8*1

此时将上式转化为6*(999+1)+2*(99+1)+7*(9+1)+8，化简可得6*999+2*99+7*9+6+2+7+8，可以看到最后的6,2,7和8即为6278的每一位数值，而对于6+2+7+8=23来说可以划分为2*10+3*1，转化为2*(9+1)+3=2*9+2+3，可以看到最后的2和3即为23的每一位数值

现在将范围扩大到所有十进制以内整数num，对于num来说，用i代表最低位位权值0，n-1代表最高位位权值，则上面等式可以写为通式： $$ \sum_{i=0}^{n-1}{{{a}_{i}}\times 1{{0}^{i}}} $$

转化为

\[ \sum_{i=0}^{n-1}{{{a}_{i}}\times (1{{0}^{i}}-1+1)}=\sum_{i=0}^{n-1}{{{a}_{i}}\times 1{{0}^{i}}-1}+\sum_{i=0}^{n-1}{{{a}_{i}}} \]

此时算式中的$\sum_{i=0}^{n-1}{{{a}_{i}}}$即为每一次求和的数字和，多次求和直到和小于10，则和即为该数的数字根

而因为i为0时，$1{{0}^{i}}-1$是9的倍数，i为1时，$1{{0}^{i}}-1$依旧是9的倍数。而去掉的每一部分，例如上面的6278中的6,2,7和8之和取9的余数此时和原数6278取9的余数相同（也称模9同余），有下面的结果：6278/9=698…5 ，所以6278%9=5$≡$23 % 9 = 5，此时5即6278的数字根

但是如果该数值为9的倍数，那么余数为0，但是数字根不为0，所以此时需要改变计算方法

例如对于数值18来说，18%9=0,1+8=9，此时数字根并不等于余数，但是17%9=8，而17比18只少一个最低位，所以可以采取(18-1)%9+1=9，此时数字根等于余数

对于其余正常数值来说，也并不影响余数即为数字根，因为改变的都只是最低位的数值，而最低位数值都是1的倍数，所以相当于缺一个1补一个1

所以数字根，可以理解为数字相对于数值9来说的余数

综上所述，可以将代码简化为
C++
1
(num-1)%9+1

数字根简单应用¶

题目链接：258. 各位相加 - 力扣（LeetCode）

Quote

给定一个非负整数 num，反复将各个位上的数字相加，直到结果为一位数。返回这个结果。

思路解析：

数字根基本计算

参考代码：

C++
/*
 * @lc app=leetcode.cn id=258 lang=cpp
 *
 * [258] 各位相加
 */

// @lc code=start
class Solution
{
public:
    int addDigits(int num)
    {
       return (num - 1) % 9 + 1;
    }
};
// @lc code=end